При определении вероятности выполнения пространственного условия. Вероятностное пространство

Из повседневного опыта известно, что одни случайные события наступают довольно часто, другие менее часто или совсем редко. Однако эти характеристики событий слишком неопределенны. Более объективной экспериментальной характеристикой случайного события (обозначим его, например, через ) является относительная статистическая частота , равная отношению числа опытов , в которых событие наступило, к общему числу опытов , т. е. . Экспериментально установлено, что для многих событий относительная частота при увеличении становится почти постоянной. Это свойство называют статистической устойчивостью относительных частот . Таким образом, с каждым событием можно связать некоторое число , с которым сближается частота, и считать это число вероятностью события .

Рассмотренные выше и ряд других эмпирических фактов, связанных с поведением относительных частот наступления тех или иных событий в повторных испытаниях, обобщение этих фактов и абстрагирование свойств относительных частот привели к аксиоматическому определению понятия вероятности как меры возможности наступления того или иного наблюдаемого в опыте события.

Пусть – алгебра событий для данного опыта. Вероятностью называется числовая функция, определенная для всех и удовлетворяющая трем условиям (аксиомам вероятностей ):

1) (аксиома неотрицательности );

2) (аксиома нормированности );

3) Если и несовместны (т. е. ), то (аксиома аддитивности ).

Нетрудно убедиться, что относительные частоты удовлетворяют условиям 1) – 3). Действительно,

, .

Если реальные события и несовместны, то они наступили при разных опытах и, следовательно, . Отсюда

,

что соответствует 3).

Для решения задач, связанных с бесконечными последовательностями событий, требуется дополнить приведенные аксиомы следующей аксиомой:

4) Если в последовательности наблюдаемых событий события попарно несовместны (т. е. при ) и , то (расширенная аксиома аддитивности ).

Из аксиом 1) – 3) следует, что ; в частности . Кроме того, если для некоторого опыта , то . Важно отметить, что из равенств или не следует, что событие является достоверным или соответственно невозможным.

Тройку , где – алгебра подмножеств множества элементарных исходов , – числовая функция, удовлетворяющая условиям 1) – 3), называют вероятностным пространством . Построение вероятностного пространства является основным этапом математической формализации того или иного случайного опыта. Наиболее трудной ее частью является задание вероятностного распределения на поле событий для данного опыта, которое в общем случае определяется следующим образом.

Пусть совокупность является разбиением множества . Тогда в силу аксиом 2) и 4) . Это значит, что единичная вероятность достоверного события распределяется по множеству несовместных событий, образующих полную группу. Соответствие между событиями некоторого поля и их вероятностями и называют распределением вероятностей.

Оставаясь в рамках аксиоматической теории, задачу о задании вероятностного распределения на поле событий для данного опыта нельзя решить однозначно. Вопрос о том, какое значение вероятности приписать тем или иным событиям в реальных опытах, решается методами математической статистики .

Знание вероятности наступления интересующего нас события позволяет предсказать с определенной точностью относительную частоту осуществления данного события при проведении достаточно большого числа реальных испытаний, т. е. вероятность выполняет прогностическую функцию. Задачи, которые решаются в теории вероятностей, заключаются в том, чтобы по вероятностям некоторых простых событий, известным из опыта, находить вероятности интересующих нас сложных событий. В других задачах вероятностное пространство строится на основе проведения аналогии между описываемым опытом и какой-либо моделью случайного опыта с известным распределением вероятностей. Ниже рассматриваются несколько важных частных моделей случайных явлений.

Конечное вероятностное пространство. Формула классической вероятности. Пусть – конечное множество элементарных исходов, – набор чисел, удовлетворяющих условиям

.

Вероятностью события назовем число , определенное формулой

,

где событие . Если , то по определению полагаем, что . Числа являются вероятностями элементарных исходов (элементарными вероятностями ). Таким образом, вероятность события равна сумме тех элементарных вероятностей , у которых входят в . Нетрудно убедиться, что определенная таким образом вероятность удовлетворяет всем аксиомам вероятностей.

Определенное выше конечное вероятностное пространство называют также конечной схемой. В конечной схеме вероятность однозначно определяется элементарными вероятностями. Эта схема во многих случаях служит хорошей математической моделью случайных событий.

Рассмотрим частный случай конечной схемы, в котором элементарные вероятности одинаковы, т. е. множество представляет собой конечное множество равновероятных исходов: . Тогда победем иметь

, (1)

где – число элементов множества (число всех благоприятствующих событию исходов), – число элементов множества (число всех элементарных исходов опыта).

Определение (1) называют классическим определением вероятности , а саму формулу (1) – формулой классической вероятности .

Классическое определение вероятности является хорошей моделью тех случайных явлений, для которых элементарные исходы опыта обладают определенной симметрией по отношению к условиям опыта, так что нет оснований считать какой-либо из исходов более вероятным, чем другие. Обычно это предположение оправдано в задачах из области азартных игр, лотерей и т. д. Это объясняется тем, что при изготовлении игральных костей, карт, рулеток и организации лотерей заботятся о соблюдении равновозможности различных исходов. Такие же требования предъявляются к организации выборочного контроля и выборочных статистических исследований.

Пример . Из колоды в 36 карт наудачу вынимается одна карта. Какова вероятность вынуть карту пиковой масти?

◄ Здесь всего исходов . Событие ={вынута карта пиковой масти}. Число равновозможных исходов, благоприятствующих наступлению события , . Следовательно, .

Пример . Бросаются одновременно две симметричные монеты. Какова вероятность выпадения герба на обеих монетах?

◄ Множество состоит из равновозможных элементарных исходов: . Событию ={выпало два герба} благоприятствует исходов. По формуле классической вероятности получаем .

Для полного описания механизма исследуемого случайного эксперимента недостаточно задать лишь пространство элементарных событий. Очевидно, наряду с перечислением всех возможных исходов исследуемого случайного эксперимента мы должны также знать, как часто в длинной серии таких экспериментов могут происходить те или другие элементарные события. Действительно, возвращаясь, скажем, к примерам 4.1-4.7, легко представить себе, что в рамках каждого из описанных в них пространств элементарных событий можно рассмотреть бесчисленное множество случайных экспериментов, существенно различающихся по своему механизму.

Так, в примерах 4.1-4.3 мы будем иметь существенно различающиеся относительные частоты появления одних и тех же элементарных исходов, если будем пользоваться различными моментами и игральными костями (симметричными, со слегка смещенным центром тяжести, с сильно смещенным центром тяжести и т. п.) В примерах 4.4-4.7 частота появления дефектных изделий, характер засоренности дефектными изделиями проконтролированных партий и частоты появления определенного числа сбоев станков автоматической линии будут зависеть от уровня технологической оснащенности изучаемого производства: при одном и том же пространстве элементарных событий частота появления «хороших» элементарных исходов будет выше в производстве с более высоким уровнем технологии.

Для построения (в дискретном случае) полной и законченной математической теории случайного эксперимента - теории вероятностей помимо уже введенных исходных понятий случайного эксперимента, элементарного исхода и случайного события необходимо запастись еще одним исходным допущением (аксиомой), постулирующим существование вероятностей элементарных событий (удовлетворяющих определенной нормировке), и определением вероятности любого случайного события.

Аксиома.

(отсюда, в частности, следует, что для всех ).

Определение вероятности события.

Отсюда и из (4.2) непосредственно следует, что всегда причем вероятность достоверного события равна единице, а вероятность невозможного события равна нулю.

Все остальные понятия и правила действий с вероятностями и событиями будут уже производными от введенных выше четырех исходных определений (случайного эксперимента, элементарного исхода, случайного события и его вероятности) и одной аксиомы.

Таким образом, для исчерпывающего описания механизма исследуемого случайного эксперимента (в дискретном случае) необходимо задать конечное или счетное множество всех возможных элементарных исходов и каждому элементарному исходу поставить в соответствие некоторую неотрицательную (не превосходящую единицы) числовую характеристику интерпретируемую как вероятность появления исхода причем установленное соответствие типа должно удовлетворять требованию нормировки (4.2).

Вероятностное пространство как раз и является понятием, формализующим такое описание механизма случайного эксперимента. Задать вероятностное пространство - это значит задать пространство элементарных событий Q и определить в нем вышеуказанное соответствие типа

Очевидно, соответствие типа (4.4) может быть задано различными способами: с помощью таблиц, графиков, аналитических формул, наконец, алгоритмически.

Как же построить вероятностное пространство, соответствующее исследуемому реальному комплексу условий? С наполнением конкретным содержанием понятий случайного эксперимента, элементарного события, пространства элементарных событий, а в дискретном случае - и любого разложимого случайного события затруднений, как правило, не бывает. А вот определить из конкретных условий решаемой задачи вероятности отдельных элементарных событий не так-то просто! С этой целью используется один из следующих трех подходов.

Априорный подход к вычислению вероятностей заключается в теоретическом, умозрительном анализе специфических условий данного конкретного случайного эксперимента (до проведения самого эксперимента). В ряде ситуаций этот предопытный анализ позволяет теоретически обосновать способ определения искомых вероятностей.

Например, возможен случай, когда пространство всех возможных элементарных исходов состоит из конечного числа N элементов, причем условия производства исследуемого случайного эксперимента таковы, что вероятности осуществления каждого из этих N элементарных исходов нам представляются равными (именно в такой ситуации мы находимся при подбрасывании симметричной монеты, бросании правильной игральной кости, случайном извлечении игральной карты из хорошо перемешанной колоды и т. п.). В силу аксиомы (4.2) вероятность каждого элементарного события равна в этом случае MN. Это позволяет получить простой рецепт и для подсчета вероятности любого события: если событие А содержит NA элементарных событий, то в соответствии с определением (4.3)

Смысл формулы (4.3) состоит в том, что вероятность события в данном классе ситуаций может быть определена как отношение числа благоприятных исходов (т. е. элементарных исходов, входящих в это событие) к числу всех возможных исходов (так называемое классическое определение вероятности). В современной трактовке формула (4.3) не является определением вероятности: она применима лишь в том частном случае, когда все элементарные исходы равновероятны.

Апостериорно-частотный подход к вычислению вероятностей отталкивается, по существу, от определения вероятности, принятого так называемой частотной концепцией вероятности (подробнее об этой концепции см., например, в , ). В соответствии с этой концепцией вероятность определяется как предел относительной частоты появления исхода в процессе неограниченного увеличения общего числа случайных экспериментов т. е.

(4.5)

где - число случайных экспериментов (из общего числа произведенных случайных экспериментов), в которых зарегистрировано появление элементарного события Соответственно для практического (приближенного) определения вероятностей предлагается брать относительные частоты появления события в достаточно длинном ряду случайных экспериментов

Подобный способ вычисления вероятностей не противоречит современной (аксиоматической) концепции теории вероятностей, поскольку последняя построена таким образом, что эмпирическим (или выборочным) аналогом объективно существующей вероятности любого события А является относительная частота осуществления этого события в ряду из независимых испытаний. Разными в этих двух концепциях оказываются определения вероятностей: в соответствии с частотной концепцией вероятность не является объективным, существующим до опыта, свойством изучаемого явления, а появляется только в связи с проведением опыта или наблюдения; это приводит к смешению теоретических (истинных, обусловленных реальным комплексом условий «существования» исследуемого явления) вероятностных характеристик и их эмпирических (выборочных) аналогов. Как пишет Г. Крамер, «указанное определение вероятности можно сравнить, например, с определением геометрической точки как предела пятен мела неограниченно убывающих размеров, но подобного определения современная аксиоматическая геометрия не вводит» (). Мы не будем здесь останавливаться на математических изъянах частотной концепции вероятности. Отметим лишь принципиальные сложности реализации вычислительного приема получения приближенных значений с помощью относительных частот . Во-первых, сохранение неизменными условий случайного эксперимента (т. е. сохранение условий статистического ансамбля), при котором оказывается справедливым допущение о тенденции относительных частот группироваться вокруг постоянного значения, не может поддерживаться неограниченно долго и с высокой точностью. Поэтому для оценки вероятностей с помощью относительных частот не имеет смысла брать слишком длинные ряды (т. е. слишком большие ) и потому же, кстати, точный переход к пределу (4.5) не может иметь реального смысла.

Во-вторых, в ситуациях, когда мы имеем достаточно большое число возможных элементарных исходов (а они могут образовывать и бесконечное, и даже, как это было уже отмечено в § 4.1, континуальное множество), даже в сколь угодно длинном ряду случайных экспериментов мы будем иметь возможные исходы ни разу не осуществившиеся в ходе нашего эксперимента; да и по остальным возможным исходам полученные с помощью относительных частот приближенные значения вероятностей будут в этих условиях крайне мало надежными.

Апостериорно-модельный подход к заданию вероятностей отвечающему конкретно исследуемому реальному комплексу условий, является в настоящее время, пожалуй, наиболее распространенным и наиболее практически удобным. Логика этого подхода следующая. С одной стороны, в рамках априорного подхода, т. е. в рамках теоретического, умозрительного анализа возможных вариантов специфики гипотетичных реальных комплексов условий разработан и исследован набор модельных вероятностных пространств (биномиальное, пуассоновское, нормальное, показательное и т. п., см. § 6.1). С другой стороны, исследователь располагает результатами ограниченного ряда случайных экспериментов. Далее с помощью специальных математико-статистических приемов (основанных на методах статистического оценивания неизвестных параметров и статистической проверки гипотез, см. гл. 8 и 9) исследователь как бы «прилаживает» гипотетичные модели вероятностных пространств к имеющимся у него результатам наблюдения (отражающим специфику изучаемой реальной действительности) и оставляет для дальнейшего использования лишь ту модель или те модели, которые не противоречат этим результатам и в некотором смысле наилучшим образом им соответствуют.

Опишем теперь основные правила действий с вероятностями событий, являющиеся следствиями принятых выше определений и аксиомы.

Вероятность суммы событий (теорема сложения вероятностей).

Сформулируем и докажем правило вычисления вероятности суммы двух событий .

Для этого разобьем каждое из множеств элементарных событий, составляющих события на две части:

где объединяет все элементарные события со, входящие в но не входящие в состоит из всех тех элементарных событий, которые одновременно входят и в Пользуясь определением (4.3) и определением произведения событий имеем:

В то же время в соответствии с определением суммы событий и с (4.3) имеем

Из (4.6), (4.7) и (4.8) получаем формулу сложения вероятностей (для двух событий):

Формула (4.9) сложения вероятностей может быть обобщена на случай произвольного числа слагаемых (см., например, ):

где «добавки» вычисляются в форме суммы вероятностей вида

причем суммирование в правой части производится, очевидно, при условии, что все различны, a .

В частном случае, когда интересующая нас система состоит лишь из несовместных событии, все произведения вида будут пустыми (или невозможными) событиями и соответственно формула (4.9) дает

Вероятность произведения событий (теорема умножения вероятностей). Условная вероятность.

Рассмотрим ситуации, когда заранее поставленное условие или фиксация некоторого уже осуществившего события исключают из числа возможных часть элементарных событий анализируемого вероятностного пространства. Так, анализируя совокупность из N изделий массового производства, содержащую изделий первого, - второго, - третьего и - четвертого сорта мы рассматриваем вероятностное пространство с элементарными исходами и их вероятностями - соответственно (здесь означает событие, заключающееся в том, что наугад извлеченное из совокупности изделие оказалось сорта). Предположим, условия сортировки изделий таковы, что на каком-то этапе изделия первого сорта отделяются от общей совокупности и все вероятностные выводы в частности, подсчет вероятностей различных событий) нам предстоит строить применительно к урезанной совокупности, состоящей только из изделий второго, третьего и четвертого сорта. В таких случаях принято говорить об условных вероятностях, т. е. о вероятностях, вычисленных при условии уже осуществленного некоторого события. В данном случае таким осуществленным событием является событие , т. е. событие, заключающееся в любое наугад извлеченное изделие является либо второго, либо третьего, либо четвертого сорта. Поэтому, если нас интересует подсчет условной вероятности события А (при условии, что событие В уже имеет место), заключающегося, например, в том, что наугад извлеченное изделие окажется второго или третьего сорта, то, очевидно, эта условная вероятность (обозначим ее ) может быть определена следующим соотношением:

Как легко понять из этого примера, подсчет условных вероятностей - это, по существу, переход в другое, урезанное заданным условием В пространство элементарных событий, когда соотношение вероятностей элементарных событий в урезанном пространстве остается тем же, что и в исходном (более широком), но все они нормируются (делятся на ) для того, чтобы и в новом вероятностном пространстве выполнялось требование нормировки (4.2). Конечно, можно было бы не вводить терминологии с условными вероятностями, а просто использовать аппарат обычных («безусловных») вероятностей в новом пространстве. Запись в терминах вероятностей «старого» пространства бывает полезной в тех случаях, когда по условиям конкретной задачи мы должны все время помнить о существовании исходного, более широкого пространства элементарных событий.

Получим формулу условной вероятности в общем случае. Пусть В - событие (непустое), считающееся уже состоявшимся («условие»), а А - событие, условную вероятность которого Р(А|В) требуется вычислить. Новое (урезанное) пространство элементарных событий состоит только из элементарных событий, входящих в В, и, следовательно, их вероятности (с условием нормировки (4.2)) определяются соотношениями

По определению, вероятность Р(А|В) - это вероятность события А в «урезанном» вероятностном пространстве , и, следовательно, в соответствии с (4.3) и (4.10)

или, что то же,

Эквивалентные формулы (4.11) и (4.11") принято называть соответственно формулой условной вероятности и правилом умножения вероятностей.

Еще раз подчеркнем, что рассмотрение условных вероятностей различных событий при одном и том же условии В равносильно рассмотрению обычных вероятностей в другом (урезайном) пространстве элементарных событий пересчетом соответствующих вероятностей элементарных событий по формуле (4.10). Поэтому все общие теоремы и правила действий с вероятностями остаются в силе и для условных вероятностей, если эти условные вероятности берутся при одном и том же условии.

Независимость событий. Два события А и В называют независимыми, если

Для пояснения естественности такого определения вернемт. е.ся к теореме умножения вероятностей (4.11) и посмотрим, в каких ситуациях из нее следует (4.12). Очевидно, это может быть тогда, когда условная вероятность равна соответствующей безусловной вероятности , т.е., грубо говоря, тогда, когда знание того, что произошло событие никак не влияет на оценку шансов появления события А.

Распространение определения независимости на систему более чем двух событий выглядит следующим образом. События называются взаимно независимыми, если для любых пар, троек, четверок и т.д. событий, отобранных от этого набора событий, справедливы следующие правила умножения:

Очевидно, в первой строке подразумевается

(число сочетаний из k по два) уравнений, во второй - и т. д. Всего, следовательно, (4.13) объединяет условий. В то же время условий первой строки достаточно для обеспечения попарной независимости этих событий. И хотя попарная и взаимная независимость системы событий, строго говоря, не одно и то же, их различие представляет скорее теоретический, чем практический интерес: практически важных примеров попарно независимых событий, не являющихся взаимно независимыми, по-видимому, не существует.

Вероятностное пространство - это математическая модель случайного эксперимента (опыта) в аксиоматике А. Н. Колмогорова. Вероятностное пространство содержит в себе всю информацию о свойствах случайного эксперимента, необходимую для его математического анализа средствами теории вероятностей. Любая задача теории вероятностей решается в рамках некоторого вероятностного пространства, полностью заданного изначально. Задачи, в которых вероятностное пространство задано не полностью, а недостающую информацию следует получить по результатам наблюдений, относятся к области математической статистики.

Определение

Вероятностное пространство - это тройка , где:

Заметим, что последнее свойство сигма-аддитивности меры эквивалентно (при условии выполнения всех прочих свойств, в том числе конечной аддитивности) любому из следующих свойств непрерывности меры :

Примеры наиболее часто использующихся вероятностных пространств

Дискретные вероятностные пространства

Если множество элементарных исходов конечно или счетно: , то соответствующее вероятностное пространство называется дискретным . В случае дискретных вероятностных пространств событиями обычно считают все возможные подмножества . В этом случае для задания вероятности необходимо и достаточно приписать каждому элементарному исходу число так, чтобы их сумма была равна 1. Тогда вероятность любого события задается следующим образом:

Важным частным случаем такого пространства является классический способ задания вероятностей , когда количество элементарных исходов конечно и все они имеют одинаковую вероятность. Тогда вероятность любого события определяется как отношение его мощности (т.е. количества элементарных исходов, благоприятствующих данному событию) к общему числу элементарных исходов:

Однако всегда необходимо помнить, что для того, чтобы применять данный способ, необходимо убедиться в том, что элементарные исходы действительно равновероятны. Это должно либо быть сформулировано как исходное условие, либо этот факт следует строго вывести из имеющихся начальных условий.

Вероятностные пространства на прямой

Вероятностные пространства на прямой () естественным образом возникают при изучении случайных величин . При этом в общем случае уже не получается рассматривать в качестве событий любые подмножества прямой, поскольку на таком широком классе обычно нельзя задать вероятностную меру, удовлетворяющую необходимым аксиомам. Универсальная сигма-алгебра событий, достаточная для работы - это сигма-алгебра борелевских множеств : наименьшая сигма-алгебра, содержащая все открытые множества. Эквивалентное определение - наименьшая сигма-алгебра, содержащая все интервалы . Универсальный способ задания вероятностной меры на данной сигма-алгебре - через функцию распределения случайной величины.

Вероятностные пространства в конечномерном пространстве

Вероятностные пространства с множеством элементарных исходов естественным образом возникают при изучении случайных векторов . Универсальной сигма-алгеброй событий при этом также является борелевская сигма-алгебра , порожденная всеми открытыми множествами. Принципиально этот случай мало чем отличается от случая одной прямой.

Как строгой математической дисциплины.

Энциклопедичный YouTube

• 1 / 5

  Вероятностное пространство - это тройка (иногда обрамляемая угловыми скобками : ⟨ , ⟩ {\displaystyle \langle ,\rangle } ), где

  Замечания

  Конечные вероятностные пространства

  Простым и часто используемым примером вероятностного пространства является конечное пространство. Пусть - конечное множество, содержащее | Ω | = n {\displaystyle \vert \Omega \vert =n} элементов.

  В качестве сигма-алгебры удобно взять семейство подмножеств Ω {\displaystyle \Omega } . Его часто символически обозначают 2 Ω {\displaystyle 2^{\Omega }} . Легко показать, что общее число членов этого семейства, то есть число различных случайных событий, как раз равно 2 | Ω | {\displaystyle 2^{\vert \Omega \vert }} , что объясняет обозначение.

  Вероятность, вообще говоря, можно определять произвольно; однако, в дискретных моделях зачастую нет причин считать, что один элементарный исход чем-либо предпочтительнее другого. В таком случае, естественным способом ввести вероятность является:

  P (A) = n A n {\displaystyle \mathbb {P} (A)={\frac {n_{A}}{n}}} ,

  где A ⊂ Ω {\displaystyle A\subset \Omega } , и | A | = n A {\displaystyle \vert A\vert =n_{A}} - число элементарных исходов, принадлежащих A {\displaystyle A} . В частности, вероятность любого элементарного события:

  P ({ ω }) = 1 n , ∀ ω ∈ Ω . {\displaystyle \mathbb {P} (\{\omega \})={\frac {1}{n}},\;\forall \omega \in \Omega .}

  Пример

  Рассмотрим эксперимент с бросанием уравновешенной монеты. Естественным будет взять два события: выпадение герба ( Γ {\displaystyle \Gamma } ) и выпадение решки ( P {\displaystyle \mathrm {P} } ), то есть Ω = { Γ , P } . {\displaystyle \Omega =\{\Gamma ,\mathrm {P} \}.} Тогда A = { { Γ } , { P } , { Γ , P } , ∅ } , {\displaystyle {\mathfrak {A}}=\{\{\Gamma \},\{\mathrm {P} \},\{\Gamma ,\mathrm {P} \},\varnothing \},} и вероятность можно посчитать следующим образом:

  P ({ Γ }) = 1 2 , P ({ P }) = 1 2 , P ({ Γ , P }) = 1 , P (∅) = 0. {\displaystyle \mathbb {P} (\{\Gamma \})={\frac {1}{2}},\;\mathbb {P} (\{\mathrm {P} \})={\frac {1}{2}},\;\mathbb {P} (\{\Gamma ,\mathrm {P} \})=1,\;\mathbb {P} (\varnothing)=0.}

  Таким образом определена тройка (Ω , A , P) {\displaystyle (\Omega ,{\mathfrak {A}},\mathbb {P})} - вероятностное пространство, в рамках которого можно рассматривать различные задачи.

  Элементы комбинаторного анализа

  Соединения. Пустъ А a 1 , a 2, a 3 …a n А m (m из n соединения из n элементов пo m

  Перестановки. Пустъ А – множество, состоящее из конечного числа элементов a 1 , a 2, a 3 …a n . Из различных элементов множества А можно образовывать группы. Если в каждую группу входит одно и то же число элементов m (m из n ), то говорят, что они образуют соединения из n элементов пo m в каждом. Различают три вида соединений: размещения, сочетания и перестановки.

  Размещения. Соединения каждое из которых содержит m различных элементов (m < n ) взятых из n элементов множества A , отличающихся друг oт друга или составом элементов, или их порядком называются размещениями из n элементов по m в каждом. Число таких размещений обозначается символом

  Теорема 1. Число всех различных перестановок из n элементов равно

  N(n-1)(n-2)(n-3)….3*2*1=1*2*3…(n-1)n=n!

  Tеорема 2. Число всех размещений из n элементов по m вычисляется по формуле:

  Сочетания. Соединения каждое из которых содержит m различных элементов (m < n ) взятых из n элементов множества А , отличающихся друг от друга по крайней мере одним из элементом (только составом) называются сочетаниями из n элементов по m в каждом. Число таких сочетаний обозначается символом

  
  

  Теорема 3 . Число всех сочетаний из n элементов по m определяется формулой:

  Иногда для записи числа размещений используют следующую формулу:

  Сущность и условия применения теории вероятностей.

  Теория вероятностей

  Случайное явление –

  только

  Т.в. служит для обоснования математической и прикладной статистики, которая используется при планировании организации производства и др.

  Основные понятия теории вероятностей.

  Теория вероятностей есть математическая наука, изучающая закономерности в случайных явлениях.

  Случайное явление – это такое явление, которое при неоднократном воспроизведении одного и того же опыта протекает каждый раз несколько по-иному.

  Методы теории вероятности по природе приспособлены только для исследования массовых случайных явлений; они не дают возможность предсказать исход отдельного случайного явления, но дают возможность предсказать средний суммарный результат массы однородных случайных явлений.

  В теории вероятностей испытанием принято называть эксперимент, который (хотя бы теоретически) может быть произведён в одних и тех же условиях неограниченное число раз.

  Результат или исход каждого испытания назовём событием. Событие являетсяосновным понятием теории вероятностей. Будем обозначать события буквами А, В, С.

  Виды событий:

  достоверное событие - событие, которое в результате опыта обязательно произойдет.

  невозможное событие - событие, которое в результате опыта не может произойти.

  случайное событие - событие, которое может произойти в данном опыте, а может и не произойти. Равновозможность событий

  Вероятностью события A (обозначают P(A) A (обозначают m(A)), N т.е. P(A) = m(A)/ N.

  Вероятностное пространство.

  Вероятностное пространство – это математическая модель случайного эксперимента (опыта) в аксиоматике А.Н. Колмогорова. Вероятностное пространство содержит в себе всю информацию о свойствах случайного эксперимента, необходимую для его математического анализа средствами теории вероятностей. Любая задача теории вероятности решается в рамках некоторого вероятностного пространства, полностью заданного изначально. Задачи, в которых вероятностное пространство задано не полностью, а недостающую информацию следует получить по результатам наблюдений, относятся к области математической статистики.

  Вероятностное пространство определяется тройкой компонент (символов) (Ω,S,P), где Ω-пространство элементарных событий

  S-∂(сигма)-алгебра событий, Р - вероятность, Ω-достоверное событие, S-система подмножеств пространства элементарных исходов Ω.

  5. 5.Непосредственный подсчет вероятности .

  Классическое определение вероятности основано на понятии равновозможности событий .

  Равновозможность событий означает, что нет оснований предпочесть какое-либо одно из них другим.

  Рассмотрим испытание, в результате которого может произойти событие A . Каждый исход, при котором осуществляется событие A , называется благоприятным событию A.

  Вероятностью события A (обозначают P(A) ) называется отношение числа исходов, благоприятных событию A (обозначают m(A)), к числу всех исходов испытания – N т.е. P(A) = m(A)/ N.

  Из классического определения вероятности вытекают следующие ее свойства :

  Вероятность любого события заключена между нулем и единицей.

  Доказательство . Так как, то поделив все части неравенства на N , получим

  
  

  Откуда по классическому определению вероятности следует, что

  Вероятность достоверного события равна единице.

  Вероятность невозможного события равна нулю

  6. 6.Теоремы сложения вероятностей.

  Если А и В несовместны, то Р(А + В) = Р(А) +Р(В)

  Если А и Â противоположные события, то